miércoles, 8 de junio de 2011

4.1 Definición de serie

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 +r4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.

Carácter de una serie.
  • Convergente : Cuando la suma es un número real.
  • Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
  • Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.


Propiedades generales de las series numéricas
  • å an = S entonces å K an = K S Solo si k es nº real distinto de 0
  • Si å an es divergente no podemos saber nada.
  • Al suprimir añadir o modificar un número finito de términos de una serie el carácter de una serie no se modifica, si bien cuando la serie sea convergente la suma puede serse alterada.

lunes, 6 de junio de 2011

4.1.1 Finita

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como  
donde n es el índice final de la
serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,      i = 1,2,3,\ldots.
Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

Serie finita

xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de
Cauchy de   
Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Serie infinita


§  Primer ejemplo. Para alguna      


                 por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   
Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy

                               fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica 

viernes, 3 de junio de 2011

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy)

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de  
se obtiene un número L, con los siguientes casos:

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:Sea: 








Tal que:
  f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
  f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:  





Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera: 
     L < 1 la serie converge
     L > 1 la serie diverge
    L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie  
  
        tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe.



Entonces, si:

  L < 1, la serie es convergente.
  L > 1 entonces la serie es divergente.
  L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

 
FUENTE: 

4.3 Serie de potencias

Una serie del tipo


A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:



Donde es otra constante. De hecho, por el Mathboch de “Aplicaciones de las derivadas” sabemos que este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

En lo que concierne a la convergencia de series, trataremos sólo las series de MacLaurin puesto que las de Taylor se reducen a las primeras mediante un simple cambio de variable.

• Convergencia de una serie de potencias

Investiguemos la convergencia de una serie de potencias de MacLaurin cualquiera. Asignando un
Valor numérico particular a la variable , se obtiene una serie que convergirá o divergirá
Dependiendo del valor de la .








BIBLIOGRAFIAS:

http://www.satd.uma.es/a_valverde/aula-calculo/calculo.html
http://www.ugr.es/~fjperez/Ejerc_suc_ser_func_screen.pdf

4.4 Radio de convergencia

Eradio de convergencia de una serie de la forma
 \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R} , viene dado por la expresión:

R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n, con a_n,x,x_0\in\mathbb{R}, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0r = 0. Si lo hace para cualquier valor de xr = \infty \,\!


Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+....
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty.

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:
\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-....
Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1 − x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y | 3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:
\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...
Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie


Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x, de hecho e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....
y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito