4.1 Teoría Preliminar

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como,



Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamadoa veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

dx/ dt = f(t, x, y)

dy/ dt = g(t, x, y)

El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es, = (dx/ dt, dy/ dt)


Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,

dx1/ dt = −4×1 + 2×2

dx2/ dt = 0×1 + −2×2

Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesarioun vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x

En este caso, A es la matriz constante que puedeserrepresentada como,

A =

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como,

x(t)T =

dx/ dt =

En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir,

A = S * D * S-1

Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz diagonal D.

En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se puede escribir como,

dx/ dt = A * x

dx1/ dt

dx2/ dt = −4 2

0 −4 * x1

x2

Al igual que en una ecuación diferencial ordinaria, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales también pueden formar un problema de valor inicial donde se dan varias condiciones iniciales.




A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden


dydx= f (x,y)

Sujeta a la condición adicional


y(x0) =y0

Donde


x0 es un punto en I y y0 es un número real arbitrario.
El problema


Resuelva: dy/dx=f (x,y)


Sujeta a :y(x0) =y0



Se llama problema de valor inicial . A la condición adicional "sujeta" se la conoce como condición inicial









Biografía


Ecuaciones Diferenciales Lineales, Earl D. Ranville, Ed Trillas