Ecuaciones Diferenciales: 4.4 Radio de convergencia

El radio de convergencia de una serie de la forma

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , viene dado por la expresión:

$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |}$

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ , con $a_n,x,x_0\in\mathbb{R}$ , recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x 0$ . La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $| x - x 0 | < r$ , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x 0 - r,$ $x 0 + r)$ , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x 0$ , $r = 0$ . Si lo hace para cualquier valor de $x$ , $r =$ $\infty \,\!$

Radio de convergencia finito

La función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia $x - x 0 = x - 0 = x$ , tiene el siguiente aspecto:

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n=1+x+x^2+x^3+...$ .

(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r = 1$ . Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al $x 0 = 0$ es menor que $r = 1$ , por ejemplo el $x = 0.25$ , entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

$\sum_{n=0}^\infty 0.25^n=1+0.25+0.25^2+0.25^3+...=\frac{4}{3}$ .

(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

$\frac{1}{1-0.25}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ .

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el $x = 2$ , los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

$\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+2^2+2^3+...=\infty$ .

Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función $1 / (1 - x)$ en su desarrollo con centro $x 0 = 3$ tiene la forma:

$\frac{1}{1-x}=-\frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}-\frac{(x-3)^2}{8}+\frac{(x-3)^3}{16}-...$ .

Pero en este caso su radio de convergencia es $r = 2$ . Notemos que la función $1 / (1 - x)$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: $| 0 - 1 | = 1$ y $| 3 - 1 | = 2$ . Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{x-1}{2}+\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(x-1)^4}{8}+\frac{(x-1)^5}{8}-...$

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es $r=\sqrt{2}/2$ . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la función $e x$ puede desarrollarse en series de potencia de $x - 0 = x$ , de hecho $e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ .

y esto vale para todo real $x$ por eso el radio de convergencia será infinito

Ecuaciones Diferenciales

viernes, 3 de junio de 2011

4.4 Radio de convergencia

Radio de convergencia finito

Distancia a la singularidad

Radio de convergencia infinito

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