4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor

Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0. Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor la cual satisface :

F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fⁿ⁾⁽x0)  Pn(x)

Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0) (x − x0)² +. . . . . . + 1/n! fⁿ⁾(x0)(x− x0)n

·         Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fⁿ⁾ son

continuas en [a, b] y fⁿ⁾1Þ existe en (a, b).

Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x

en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que

f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)² +. . . .  1/n! fn)(x0)(x−x0)n +Rn(x) donde Rn(x)  1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)ⁿ⁺¹ y le llamaremos resto de Lagrange.

Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)

·         Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple:

x→x0

lim f(x) – Pn(x)/

(x − x0)ⁿ = 0

Polinomios de Taylor de orden 1 y 2

de la función f(x) = exp x